Olá a todos! Tudo certo por aí? Bom, andei sumido por uns dias por conta do carnaval, mas voltei. E no artigo de hoje, vamos comentar sobre o Teorema de Green e suas aplicações. Mas, quem foi Green? Por que falar sobre ele? Essas e outras perguntas que você deve estar se fazendo, caso não conheça esse grande matemático nem sua contribuição para a  humanidade, serão respondidas mais adiante.

George Green foi um matemático e físico inglês, filho de um padeiro de Nottingham na Inglaterra, que passou muito tempo de sua adolescência ajudando o seu pai, trabalhando. Segundo relatos históricos ele seria autodidata, pelo simples fato de ter frequentado o ensino regular por apenas dois anos! Quando tinha 35 anos, Green  publicou seu primeiro artigo que descrevia uma análise matemática sobre eletricidade e magnetismo em que ele utilizava o teorema que vamos discutir hoje. Nessa época, pouca importância deram a ele pela quantidade da tiragem do estudo, que foi bem reduzida.

Algum tempo depois, William Thomson descobriu esse artigo e conseguiu publicá-lo em um jornal que o garantiu uma maior visibilidade. Hoje se sabe que Green exerceu influência sobre o trabalho de grandes nomes, como Stokes e Maxwell. Legal hein?
Então vamos tentar entender a contribuição deste gênio para o mundo.

Será mesmo que Green havia escrito algo realmente fantástico? Vamos adiante, fazer uma análise mais matemática de seu teorema, e perceber de que forma também, ele viria impulsionar a criação de uma “engenhoca” bastante interessante e usual, chamada planímetro.

Análise/descrição matemática do Teorema de Green
O Teorema de Green diz que, sendo D um conjunto com interior não-vazio e contido em R^2(no plano), e a fronteira desse conjunto a imagem de uma curva C fechada, simples e orientada no sentido anti-horário, então a integral sobre esta linha é igual a uma integral dupla, sendo que:

Vamos resolver uma questão para percebermos melhor como funciona essa definição.

Exemplo :

Resposta:

Ao ler o problema, primeiro vamos tentar perceber se o mesmo é passível de ser resolvido pelo Teorema de Green. Traçando a curva C, percebe-se que ela é fechada,simples,orientada no sentido anti-horário,e nos delimita um certo conjunto D que não é vazio, e ainda contido no R^2. Percebeu? Todas as exigências para a aplicação do Teorema estão satisfeitas, então basta seguir a receita! Comparando com a definição, vemos que P(x,y)=x^4 e Q(x,y)=xy. A partir daí, já podemos através de uma integral dupla descobrir o valor de D, tendo posse apenas da integral que representa a linha na forma exata.Então:

Ok, deu pra entender? Então voltando,sabemos que a integral dupla também serve para encontrarmos a área de uma dada região não é mesmo? Para que isso seja verdade, é preciso que a função que vamos integrar seja igual a 1. Portanto, no nosso caso, se a diferença das derivadas parciais da função Q em relação a x, e de P em relação a y resultasse em uma constante, poderíamos tirá-la da integral e assim ficaríamos com uma constante k multiplicada por uma integral dupla de função 1, ou seja, uma constante multiplicada pela área cercada pela linha que chamamos de C. Logo, multiplicando essa integral por k^-1, seria possível determinar a área de regiões planas limitadas por uma dada curva através do Teorema de Green! Muito bom!

Agora, vou mostrar um pouco sobre o planímetro! Aquela engenhoca que mencionei no início. O planímetro, possui dois braços capazes de variar o ângulo entre eles, e duas extremidades. Uma fica fixa em algum ponto (no plano, vamos usar o (0,0)), e a outra é capaz de percorrer uma linha fechada que delimita alguma região. E essa ponta capaz de percorrer a linha, possui uma rodinha, com um contador que mede o número de voltas da mesma para “andar” por sobre a linha. Ao final, o contador indicará a área delimitada pela curva. E como o contador indicará a área? Pelo Teorema de Green! Observem mais ou menos um esboço do planímetro:

E uma outra aplicação interessante, é que o princípio do Teorema de Green é também utilizado para o mapeamento de áreas feito por GPS.
Bem, por hoje fico por aqui. Desculpas pela demora! Um grande abraço a todos, e quaisquer anormalidades, estou à disposição. Até a próxima!

Obs: A quesão mencionada, foi tirada do livro de Cálculo -Volume 2, do James Stewart.

E aí pessoal! Tudo bem com vocês? Espero que sim! Bem, hoje nós vamos aprender um pouco mais sobre a linguagem C, e o assunto de hoje é : Manipulando arquivos através da linha de comando (Argc e Argv) . Talvez você ainda não tenha pensado em algo parecido com o que vou falar adiante. Mas imagine. Muitas vezes, seria bastante útil se pudéssemos “conversar” com um programa no momento em que o executamos, fornecendo-o informações para que ele efetuasse determinada ação! Na linguagem C, isso é possível: Essas informações podem ser passadas para o programa através da função principal, que se chama main(), na linha de comando.

Então vejamos: Quando vamos executar um programa,no linux por exemplo, nós o chamamos da seguinte forma no terminal: “./nomedoprograma” (sem as aspas). Se quisermos passar alguma informação para este programa no mesmo momento em que o chamamos, faríamos assim: “./nomedoprograma informacao1 informacao 2[...]” que na verdade seriam os argumentos para a função main().

Entendido isso, precisamos saber que existem dois argumentos internos a essa função que são usados para receber as informações vindas da linha de comando. Vamos falar do primeiro: Argument Counter(Argc).

O Argument Counter representa a quantidade de argumentos (informações) que você forneceu ao seu programa. Esse argumento, trata-se de um número inteiro e é NO MÍNIMO 1 porque o nome do programa é considerado o primeiro argumento. Esse argumento tem a função de CONTAR a quantidade de argumentos que você forneceu. Ok?

Por exemplo: Se você chamar por somente “./nomedoprograma”, o seu Argc já é 1, pois o nome do programa também é contabilizado. Caso fosse “./nomedoprograma argumento1″ o seu Argc valeria 2. E assim por diante.

E o outro argumento interno, chama-se Argument Values (Argv), que trata-se de um PONTEIRO de PONTEIRO, ou melhor, de um ponteiro para uma matriz de ponteiros para caractere. Complicou? Vamos tentar descomplicar através do nosso exemplo.

Vamos comentar blocos de um programinha bem simples por sinal, que terá a função de escrever uma string (vetor de caractere) em um arquivo de texto, sendo que esta string será passada para que o programa possa escrevê-la em um arquivo de texto através da linha de comando.

Passaremos 3 argumentos pela linha de comando para o nosso programa, ou seja, o nosso Argc terá valor 3. Chamaremos o programa na linha de comando passando o caractere I(de Inserir) e a string entre aspas que será escrita no arquivo de texto, dessa forma:

./nomedoprograma I “Thiago Ribeiro”

Vamos ao código do programa:

#include<stdio.h>

/*Inclusão da biblioteca que contém funções de INPUT/OUTPUT(ENTRADA/SAÍDA) do C.*/

#include<stdlib.h>

/*Biblioteca de acesso à estrutura FILE*/

#define T 60

/*Diretiva de pré-processamento. Isso significa que o compilador ao vê-la, irá atribuir o valor 60 a qualquer T (maiúsculo) que encontrar no programa. Lembrando que o C, é CASE-SENSITIVE, ou seja, T (maiúsculo) não é o mesmo que t(minúsculo).*/

typedef char string[T];

/*Typedefinition. Estamos apenas definindo um tipo. No C, não temos o tipo string. Uma string trata-se de um vetor de caracteres, e no nosso caso, definimos um vetor de caracteres com T(60) posições.Estipulamos um limite de 60 caracteres para as strings que iremos passar pela linha de comando. Fazendo isso, criamos o tipo string, como o tipo char ou int que já conhecemos. Alterando o valor de T para 100 por exemplo, você teria um tipo string com limite de 100 caracteres.*/

void incluir (FILE *fp,string str);

/*Cabeçalho da nossa função que ira escrever a string passada pela linha de comando, dentro do arquivo de texto. Na implementação da função há mais detalhes.*/

int main (int argc,char *argv[])

{

/* Cabeçalho da função principal do C, com os devidos argumentos internos:Argc(um inteiro) e o Argv(Ponteiro).*/

FILE *fp;

char opcao;

/* Criação de um ponteiro de arquivo, chamado “file pointer”. Mas poderíamos chamá-lo de qualquer nome. Criamos também uma variável do tipo caractere chamada “opcao”, que posteriormente irá receber o caractere I de Inserir, que terá de ser passado pela linha de comando, para que o programa reconheça que queremos Incluir uma string no arquivo de texto.*/

if (argc<3){

printf(“Erro. Uso incorreto\n”);

printf(“Maneira adequada: ./nomedoprograma caractere string\n”);

exit(1);

}

/* Verifica se a quantidade de argumentos está correta: ./nomedoprograma(primeiro) I(seg.) “string”(terc.) Se estiver algo errado, iremos informar ao usuário que algo está errado, e indicar a maneira correta. Obs.:A função exit() terá o papel de parar o programa. Ela recebe por parâmetro um inteiro que será o valor de retorno do programa, e geralmente, 0 significa sucesso, e qualquer número diferente de zero, um erro.*/

fp = fopen(“saida.txt”,”a+”);

/* a função fopen() irá abrir o arquivo no formato de anexo. Colocamos neste modo pois nós queremos acrescentar strings ao final do Arquivo.O “+” indica que se o arquivo não existe no S.O o mesmo será criado. E caso já exista, sobreescrito.A fopen() retorna um ponteiro de arquivo. Como temos um ponteiro de arquivo chamado “fp”, podemos atribuir o retorno da nossa função fopen() ao nosso ponteiro. O nome do nosso arquivo pode ser especificado. No nosso caso chamaremos de saida.txt, porém, você pode alterá-lo para qualquer nome que desejar. Lembrando que se existir algum arquivo no S.O com este nome e tipo, o mesmo será sobreescrito.*/

if (fp == NULL){

printf(“Erro ao tentar abrir o arquivo!\n”);

exit(1);

}

/* Caso o ponteiro que a função fopen() retorne seja um ponteiro NULO, então informaremos ao usuário que ocorreu um erro quando a função tentou abrir o arquivo no S.O.*/

opcao = argv[1][0];

/*Aqui atribuímos à variável opcao(do tipo caractere) o argv[1][0], que é o I passado pela linha de comando. O 1 significa que a posição do caractere na linha de comando é a posição 1. E o 0,significa que o I está na primeira posição de um vetor de caractere. Lembrando que em C, o índice de uma matriz(array) começa em 0.*/

switch(opcao){

case ‘I’:

incluir(fp,argv[2]);

break;

}

/* Comando switch(). Passamos como parâmetro o I,de Incluir que veio na linha de comando. Vamos verificar se o caractere que o usuário passou foi o mesmo que queríamos através do comando case. Se for, chamamos a função incluir() passando o ponteiro que vai abrir o arquivo, e a string que escrevemos entre aspas na linha de comando, o argv[2], que é o terceiro parâmetro. Lembrando novamente que no C, a indexação de uma matriz(array) inicia no 0.*/

fclose (fp);

/*Fechando o arquivo com a função fopen(). É extremamente importante fechar um arquivo, depois de efetuar alguma ação no mesmo. Uma falha ao fechar um arquivo, pode acarretar uma série de problemas para o S.O, como por exemplo, perda de dados.*/

return 0;

/*Escrever o return 0, é considerado uma boa prática de programação, mesmo que a função main() não retorne nada.*/

}

void incluir (FILE *fp,string str)

{

fprintf(fp,”%s\n”,str);

}

/*A função do tipo VOID trata-se de um procedimento, uma função que não precisará retornar nada. Passamos como parâmetro para a função fprintf() o ponteiro que irá abrir o arquivo, e a string que virá pela linha de comando.Também há um \n para que pular uma linha após a inserção da string.*/

Compilando o programa e passando as devidas informações pela linha de comando, veja a figura:

*Feito isso, será gerado o nosso arquivo de texto chamado “saída.txt” e dentro dele, estará contida a string “Thiago Ribeiro”. E se você repetir o processo para uma nova string, a mesma será colocada abaixo de “Thiago Ribeiro”.

Download do código do programa corretamente identado:

Clique aqui

Obs.: Ao compilar o programa,o compilador gcc irá dar um aviso pelo uso da função exit(). Mas não há nenhum erro de compilação ok?

Bem pessoal, por hoje é só. Qualquer dúvida sua, ou equívoco meu, favor comunicar. Obrigado pelos comentários no post anterior, e eu espero que tenha ajudado com mais este artigo. Um grande abraço, e até mais!

Na época do ensino médio quando estudei física, aprendi sobre algo bem legal e interessante que chamou minha atenção, o centro de massa. Porém, percebi que tudo que eu tinha aprendido me limitava a pensar apenas em partículas, quando na verdade eu queria aplicar e imaginar aquilo funcionando em coisas mais palpáveis. Não tá entendendo? Então vamos ao que interessa!

A começar, o que vem a ser este bendito centro de massa? Vamos a um exemplo clássico: O bastão de baseball. Ao arremesarmos um daqueles bastões, fica fácil perceber que todas as partes do bastão se movem de forma diferente não é mesmo? Observe os detalhes da figura abaixo:

Bastão de baseball sendo arremessado.

Observando mais atentamente, pude destacar a existência de um ponto “imaginário” que descreve essa trajetória parabólica (forma de parábola) exatamente da mesma forma que uma bolinha faria.

Sendo assim, esse ponto do bastão que se move como se fosse o próprio, nada mais é do que o centro de massa(CM)! Esse ponto se move como se todas as forças externas ao corpo (no nosso caso, o bastão) ou de um sistema de corpos, agissem somente nele. Legal!?

Pois bem, agora que sabemos do que se trata, vamos entender melhor como podemos calcular o lugar onde se encontra esse ponto, utilizando como exemplo um sistema com duas partículas. Tomemos duas partículas de massas m1 e m2. Vamos colocá-las em dois pontos diferentes(x1 e x2) do eixo-x. Desta forma:

Partículas colocadas no eixo-xy

Então, aquele ponto entre as duas partículas (CM) chamaremos de Xcm(x centro de massa) por estar contido em x, se calcula como uma média ponderada:

Xcm = (m1*x1 + m2*x2) / m1+m2

Entendido? Então tudo certo! Porém, se a gente quiser calcular o centro de massa de nossa TV por exemplo? Aí fica mais complicado? Talvez não! Vamos pensar da seguinte forma: Nossa TV é um objeto de 3 dimensões, logo podemos dizer que ela está contida no R^3(pronuncia-se “érre três”). E também não se trata de um objeto uniforme( de massa específica uniforme) , ou seja, massa por unidade de volume uniforme, o que significa que a densidade da nossa suposta TV não é a mesma em todos os pontos dela!

Chamemos de um conjunto T a nossa TV e d(delta) uma função que representa a densidade de T em dado ponto do R^3.

"Quebrando" o conjunto T em vários cubinhos

Muito bem. Já que o nosso conjunto T não é uniforme, o que fizemos foi partí-lo em muitos cubinhos, que são objetos com densidade constate. Concorda que densidade é massa/volume? Se sim, poderá observar que pegando a densidade do cubinho em um ponto Xi,j,k e multiplicando pelo seu volume ((delta x)*(delta y)*(delta z)) teremos a massa do cubinho! Ótimo! Agora, junte todos os cubinhos no conjunto T de volta, e agora teremos um conjunto mais uniforme aproximadamente e já podemos pensar em calcular o nosso centro de massa em X!

Voltando à ideia inicial das partículas, e tendo em mente que a massa do cubinho é d(Xi,j,k)*((delta x)*(delta y)*(delta z)), podemos achar o centro de massa de T em X:

Sabe-se que a massa de T pode ser encontrada pela integral tripla da densidade. Portanto, vamos trazer o que achamos acima para integral tripla e teremos a maneira exata de calcular o centro de massa de T em x:

E da mesma forma, podemos encontrar o centro de massa do conjunto T(nossa TV) em Y e em Z da mesma forma mudando apenas o X para o eixo que você deseja.

Muito bem, por hoje é só. Espero que todos tenham entendido e aprendido como funciona todo o processo!Qualquer equívoco, me comuniquem ok? Um abraço a todos! Até a próxima!!!

obs.: lembrando que sou apenas um estudante, e as coisas que eu posto aqui são resumos de minhas anotações e anotações de aula, sob a minha ótica de entender o assunto.