Cálculo 3 – Centro de Massa
Postado em | janeiro 31, 2010 | 9 Comments
Na época do ensino médio quando estudei física, aprendi sobre algo bem legal e interessante que chamou minha atenção, o centro de massa. Porém, percebi que tudo que eu tinha aprendido me limitava a pensar apenas em partículas, quando na verdade eu queria aplicar e imaginar aquilo funcionando em coisas mais palpáveis. Não tá entendendo? Então vamos ao que interessa! 
A começar, o que vem a ser este bendito centro de massa? Vamos a um exemplo clássico: O bastão de baseball. Ao arremesarmos um daqueles bastões, fica fácil perceber que todas as partes do bastão se movem de forma diferente não é mesmo? Observe os detalhes da figura abaixo:
Bastão de baseball sendo arremessado.
Observando mais atentamente, pude destacar a existência de um ponto “imaginário” que descreve essa trajetória parabólica (forma de parábola) exatamente da mesma forma que uma bolinha faria.
Sendo assim, esse ponto do bastão que se move como se fosse o próprio, nada mais é do que o centro de massa(CM)! Esse ponto se move como se todas as forças externas ao corpo (no nosso caso, o bastão) ou de um sistema de corpos, agissem somente nele. Legal!?
Pois bem, agora que sabemos do que se trata, vamos entender melhor como podemos calcular o lugar onde se encontra esse ponto, utilizando como exemplo um sistema com duas partículas. Tomemos duas partículas de massas m1 e m2. Vamos colocá-las em dois pontos diferentes(x1 e x2) do eixo-x. Desta forma:
Partículas colocadas no eixo-xy
Então, aquele ponto entre as duas partículas (CM) chamaremos de Xcm(x centro de massa) por estar contido em x, se calcula como uma média ponderada:
Xcm = (m1*x1 + m2*x2) / m1+m2
Entendido? Então tudo certo! Porém, se a gente quiser calcular o centro de massa de nossa TV por exemplo? Aí fica mais complicado? Talvez não! Vamos pensar da seguinte forma: Nossa TV é um objeto de 3 dimensões, logo podemos dizer que ela está contida no R^3(pronuncia-se “érre três”). E também não se trata de um objeto uniforme( de massa específica uniforme) , ou seja, massa por unidade de volume uniforme, o que significa que a densidade da nossa suposta TV não é a mesma em todos os pontos dela!
Chamemos de um conjunto T a nossa TV e d(delta) uma função que representa a densidade de T em dado ponto do R^3.
"Quebrando" o conjunto T em vários cubinhos
Muito bem. Já que o nosso conjunto T não é uniforme, o que fizemos foi partí-lo em muitos cubinhos, que são objetos com densidade constate. Concorda que densidade é massa/volume? Se sim, poderá observar que pegando a densidade do cubinho em um ponto Xi,j,k e multiplicando pelo seu volume ((delta x)*(delta y)*(delta z)) teremos a massa do cubinho! Ótimo! Agora, junte todos os cubinhos no conjunto T de volta, e agora teremos um conjunto mais uniforme aproximadamente e já podemos pensar em calcular o nosso centro de massa em X!
Voltando à ideia inicial das partículas, e tendo em mente que a massa do cubinho é d(Xi,j,k)*((delta x)*(delta y)*(delta z)), podemos achar o centro de massa de T em X:
Sabe-se que a massa de T pode ser encontrada pela integral tripla da densidade. Portanto, vamos trazer o que achamos acima para integral tripla e teremos a maneira exata de calcular o centro de massa de T em x:
E da mesma forma, podemos encontrar o centro de massa do conjunto T(nossa TV) em Y e em Z da mesma forma mudando apenas o X para o eixo que você deseja.
Muito bem, por hoje é só. Espero que todos tenham entendido e aprendido como funciona todo o processo!Qualquer equívoco, me comuniquem ok? Um abraço a todos! Até a próxima!!!
obs.: lembrando que sou apenas um estudante, e as coisas que eu posto aqui são resumos de minhas anotações e anotações de aula, sob a minha ótica de entender o assunto.
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9 comentários em “Cálculo 3 – Centro de Massa”
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fevereiro 1st, 2010 @ 2:39
Cálculo 3 é a treva, cara!
Espero q na sua visão de aluno, vc possa fazer uns tutoriais legais aí pra descomplicar esse monstro! hehehe;
fevereiro 1st, 2010 @ 2:41
Ta massaa!!!!!!
=)
fevereiro 2nd, 2010 @ 2:35
Isso é cálculo 2
fevereiro 2nd, 2010 @ 3:17
E aí Thiago! Cara, essa questão da divisão dos cálculos, é algo que varia bastante de universidade para universidade.
Uma vez que onde você estuda, talvez parte da ementa de cálculo 3 e colocaram no 2, assim como tem outras instituições que fazem o mesmo com o 3 e 4 em um só modulo ou 1 e 2 também ok?
Basta olhar nos livros. É bem nítida essa questão! E esse conteúdo foi tirado do “Um Curso de Cálculo – Volume 3″ do Guidorizzi. Então, é isso!
Até mais.
fevereiro 2nd, 2010 @ 18:12
Grande Thiago! Sua exposição sobre o assunto ficou perfeita! Muito melhor do que na minha aula! Um abração!
fevereiro 6th, 2010 @ 0:13
bora bonzaoo!!!
o bicho eh cdf msm!
abraço e parabens.
fevereiro 10th, 2010 @ 17:30
Olha, você como professor, seria ótimo, explicar esse assunto de uma maneira bem clara, provou que além de ser um excelente estudante ainda, tem grandes possibilidades se quiser ,de ser um excelente professor. Beijos , e o seu site ficou ótimo
fevereiro 25th, 2010 @ 14:29
Eu vi isso em Cálculo 2 aqui na UFPE! Tá muito massa o site! Muito criativo! Só começo dia 08/03 aqui as aulas… ¬¬’ Abraço!
maio 17th, 2010 @ 19:30
ólá gostaria de saber qual das 3 maneira para clculos de densidade é mais precisa .obrigad